Question

已知是首项的递增等差数列，为其前项和，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，为数列的前n项和．若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）；（2）。

【解析】

试题分析：（1）把式中的、用和进行代换得与联立方程组解出，即可求出通项公式；（2）由（1）可得的通项公式，通过观察求的前项和可通过裂项求得，求得后代入不等式，得到一个关于和的二元一次不等式，要求的取值范围可通过将分离出来，然后用不等式的基本性质及函数的基本性质即可求出的取值范围。

试题解析：（1）由，得

（2分）

（4分）

（2）由（1）得

所以 （6分）

由已知得：恒成立，

因，所以恒成立， （7分）

令，则

当为偶数时，

当且仅当，即时，，所以； （8分）

当为奇数时，

可知随的增大而增大，所以，所以 （9分）

综上所诉，的取值范围是 （10分） （其他解法请酌情给分）

考点：1、等差数列通项公式及前项和公式；2、列项求和法；3、基本不等式；4、函数的单调性。