Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+（3a-1）x+1，g（x）=alnx-x+1．
（1）若f（x）在R上不单调，求a的取值范围．
（2）若当x≥1时，g（x）≤0恒成立，求a的取值范围．
（3）若a≥0，令F（x）=f（x）-g（x），试讨论F（x）的导函数F′（x）的零点的个数．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断，
（2）根据不等式恒成立以及函数单调性与导数的关系进行转化求解，
（3）求出函数F（x）的解析式和导数，结合函数零点的定义进行讨论求解．

解答 解：（1）f'（x）=x²-3x+3a-1，△=9-4（3a-1）=-12a+13…（1分）
由于f（x）在R上不单调，则有△＞0，即-12a+13＞0，
故$a＜\frac{13}{12}$，因此a的取值范围为$（{-∞，\frac{13}{12}}）$…（2分）
（2）$g'（x）=\frac{a}{x}-1=\frac{a-x}{x}$
①当a≤1时，由于x≥1，所以g'（x）≤0，则g（x）在[1，+∞）上单调递减，从而当x∈[1，+∞）时，g（x）≤g（1）=0，满足题意…（3分）
②当a＞1时，由于x≥1，则当x∈（1，a）时，有g'（x）＞0，
所以g（x）在（1，a）上单调递增，故g（a）＞g（1）=0，不合题意．
综上所述a的取值范围为（-∞，1]…（4分）
（3）定义域为（0，+∞）$F（x）=f（x）-g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+（3a-1）x+1-[{alnx-x+1}]$=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+3ax-alnx$$F'（x）=\frac{{{x^3}-3{x^2}+3ax-a}}{x}$…（5分）
令h（x）=x³-3x²+3ax-a，则h'（x）=3x²-6x+3a=3（x²-2x+a）
①当a≥1时，△=4-4a≤0，则当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0恒成立，
从而h（x）在（0，+∞）上单调递增，
由于h（1）=2a-2≥0，$h（\frac{1}{3}）=-\frac{8}{27}＜0$，由零点存在性定理可知，存在唯一的${x_0}∈（\frac{1}{3}，1]$，使得h（x₀）=0，即F'（x₀）=0…（7分）
②当0＜a＜1时，△=4-4a＞0，令h'（x）=0，即x²-2x+a=0，
记方程的两个根为x₁，x₂，（x₁＜x₂）由于x₁+x₂=2，x₁x₂=a＞0，则x₂＞x₁＞0．h（x），h'（x）随x的变化情况如下；

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
h（x）	+	0	_	0	+
h'（x）	单增	极大值	单减	极小值	单增

…（8分）
由于${x_1}^2-2{x_1}+a=0$，则${x_1}^2=2{x_1}-a$，从而$h（{x_1}）={x_1}^3-3{x_1}^2+3a{x_1}-a$=${x_1}（2{x_1}-a）-3{x_1}^2+3a{x_1}-a$=$-{x_1}^2+2a{x_1}-a$=a-2x₁+2ax₁-a=2（a-1）x₁＜0
同理h（x₂）=2（a-1）x₂＜0，…（9分）
（i）当x∈（0，x₂）时，h（x）＜h（x₁）＜0，不存在零点．
（ii）当x∈（x₂，+∞）时，h（x）单增，又h（x₂）＜0，h（3）=8a＞0，
由零点存在性定理可知，存在唯一的x₀∈（x₂，3），使得h（x₀）=0，即F'（x₀）=0…（10分）
③当a=0时，$F'（x）=\frac{{{x^3}-3{x^2}}}{x}={x^2}-3x=0$，可知x=3，F'（x）存在唯一的零点3．
…．（11分）
综上所述，F'（x）存在唯一的零点…（12分）

点评 本题主要考查函数与导数的综合应用，涉及函数单调性，最值和导数的关系，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．