题目内容
如图，已知抛物线C：y2=4x，过点A（1，2）作抛物线C的弦AP，AQ．设直线PQ过点T（5，-2），则以PQ为底边的等腰三角形APQ个数为 （ ）| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：先求出PQ的中点坐标，再结合三角形APQ为等腰三角形求出关于m的等式，借助于函数的单调性求出m的取值个数即可得到结论．
解答：
解：以PQ为底边的等腰三角形APQ，直线PQ的方程为直线PQ的方程为x-5=m（y+2），即x=my+2m+5．
设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2-4my-8m-20=0．
∴y1+y2=4m，y1•y2=-8m-20．
∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．
由已知得
=-m，即m3+m2+3m-1=0．
设g（m）=m3+m2+3m-1，则g′（m）=3m2+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函数．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．
∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
故选：A．
设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2-4my-8m-20=0．
∴y1+y2=4m，y1•y2=-8m-20．
∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．
由已知得
| 2m-2 |
| 2m2+2m+5-1 |
设g（m）=m3+m2+3m-1，则g′（m）=3m2+2m+3＞0，
∴g（m）在R上是增函数．
又g（0）=-1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．
∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m-1=0在R上有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
故选：A．
点评：本题主要考查直线与抛物线的综合问题．注意直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．考查分析问题解决问题的能力．
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已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=
，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）
| π |
| 3 |
| A、3 | ||||
B、
| ||||
| C、2 | ||||
D、
|
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