Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

，则sinα+cosβ=

6 65

65

．

Answer 1

分析：可先确定α-β与α+β的范围，α=

(α-β)+(α+β)

2

，β=

(α+β)-(α-β)

2

，再利用半角公式求值即可．

解答：解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，
∴-

3π

4

＜-β＜-

π

2

，
∴π＜α+β＜

3π

2

，0＜α-β＜

π

4

．
又cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

，
∴sin（α-β）=

1-cos2(α-β)

=

5

13

，
cos（α+β）=-

4

5

，
∴cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=

12

13

×（-

4

5

）-

5

13

×（-

3

5

）
=-

33

65

．
同理可求：cos[（α+β）-（α-β）]=-

63

65

；
又α=

(α-β)+(α+β)

2

，β=

(α+β)-(α-β)

2

，
由

π

2

＜β＜α＜

3π

4

可知，sinα＞0，cosβ＜0．
∴sinα=sin

(α-β)+(α+β)

2

=

1-cos[(α-β)+(α+β)] 2

=

1- (- 33 65 ) 2

=

7

65

，
cosβ=cos

(α+β)-(α-β)

2

=-

1+cos[(α+β)-(α-β)] 2

=-

1+ (- 63 65 ) 2

=-

1

65

，
∴sinα+cosβ=

6

65

=

6 65

65

．
故答案为：

6 65

65

．

点评：本题考查半角公式，用α-β与α+β表示出α与β是解题的关键，着重考查两角和与差的余弦及半角公式，属于难题．