Question

15．已知函数f（x）=b+log_ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（4，1）和（1，-1）
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）令g（x）=2f（x+1）-f（x），求g（x）的最小值及取最小值时x的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{log_a}4+b=1\\{log_a}1+b=-1\end{array}\right.$，从而求解析式即可；
（2）化简g（x）=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1）=${log_2}\frac{{{{（x+1）}^2}}}{x}-1\;\;\;={log_2}（x+\frac{1}{x}+2）-1\;\;（x＞0）$，从而利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由已知得，$\left\{\begin{array}{l}{log_a}4+b=1\\{log_a}1+b=-1\end{array}\right.$，（a＞0且a≠1），
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$；
故f（x）=log₂x-1（x＞0）；
（2）∵g（x）=2f（x+1）-f（x）
=2[log₂（x+1）-1]-（log₂x-1），
∴g（x）=${log_2}\frac{{{{（x+1）}^2}}}{x}-1\;\;\;={log_2}（x+\frac{1}{x}+2）-1\;\;（x＞0）$，
∴$g（x）={log_2}（x+\frac{1}{x}+2）-1\;≥{log_2}（2+2）-1=1$，
（当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1时，等号成立）．
于是，当x=1时，g（x）取得最小值1．

点评 本题考查了对数的运算及对数函数的应用，同时考查了基本不等式的应用．