Question

2．空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD．下列命题正确的是个数是（　　） 个
①正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{2}$；
②正四面体ABCD的主视图面积可能是$\frac{2\sqrt{6}}{3}$；
③正四面体ABCD的主视图面积可能是$\sqrt{3}$；
④正四面体ABCD的主视图面积可能是2
⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出棱长为2的正四面体ABCD的正视图面积的范围，进而可判断出命题正确的个数．

解答 解：棱长为2的正四面体ABCD．
当主视图的观察方向与四面体的某个面垂直时，正视图的面积取最小值$\frac{\sqrt{3}}{4}•{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
当主视图的观察方向与四面体的两条异面的棱的公垂线平行时，正视图的面积取最大值：$（2\sqrt{2}）^{2}$=8，
故正四面体ABCD的主视图面积S∈[$\sqrt{3}$，8]，
故①错误，②错误，③正确，④正确，
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间几何体的三视图，难度中档．