Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，给出下列命题：
①“a²+b²＞c²”是“C角为锐角”的充要条件；
②“△ABC为锐角三角形”是“a⁵+b⁵=c⁵“的既不充分也不必要条件；
③“a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件；
④若命题p：?A＞B，sinA＞sinB，则￢p：?A＞B，sinA＜sinB．
其中所有正确命题的序号是①③．

Answer 1

分析 ①根据余弦定理进行判断，
②根据指数函数的单调性以及余弦定理进行判断．
③根据指数函数的单调性以及余弦定理进行判断．
④根据含有量词的命题的否定进行判断．

解答 解：①若“a²+b²＞c²”，则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，则C是锐角，
若C角为锐角，则cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，即a²+b²＞c²，则“a²+b²＞c²”是“C角为锐角”的充要条件；故①正确；
②由a⁵+b⁵=c⁵，得c最大，即C最大，
则（$\frac{a}{c}$）⁵+（$\frac{b}{c}$）⁵=1，
则0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
则1=（$\frac{a}{c}$）⁵+（$\frac{b}{c}$）⁵＜（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²，
即a²+b²＞c²，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，则C是锐角，则“△ABC为锐角三角形，即必要性成立，故②错误，
③∵a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$，∴得c最大，即C最大，
∴（$\frac{a}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$+（$\frac{b}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$=1，
则1=（$\frac{a}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$+（$\frac{b}{c}$）${\;}^{\frac{5}{4}}$＞（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²，
∴a²+b²＜c²，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，则△ABC为钝角三角形，即充分性成立，
若B为钝角，则b最大，则a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$不成立，即③“a${\;}^{\frac{5}{4}}$+b${\;}^{\frac{5}{4}}$=c${\;}^{\frac{5}{4}}$”是“△ABC为钝角三角形”的充分不必要条件，故③正确，
④若命题p：?A＞B，sinA＞sinB，则￢p：?A＞B，sinA≤sinB．故④错误，
故正确命题的序号是①③，
故答案为：①③．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，三角形形状以及余弦定理的应用，综合性较强，有一定的难度．