Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*满足S_n=2a_n+n-3．
（1）若数列{b_n}满足b_n=a_n-1，求证{b_n}为等比数列；
（2）若c_n=na_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n+n-3，当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁．当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=2a_n-1+1，变形为a_n-1=2（a_n-1-1），利用等比数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=2^n-1=a_n-1，可得a_n=2^n-1+1．利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n+n-3，∴当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-3-（2a_n-1+n-1-3），化为：a_n=2a_n-1+1，变形为a_n-1=2（a_n-1-1），
∵b_n=a_n-1，∴b_n=2b_n-1，b₁=2-1=1，
∴{b_n}为等比数列，首项为1，公比为2．
（2）解：由（1）可得：b_n=2^n-1=a_n-1，∴a_n=2^n-1+1．
∴c_n=na_n=n•2^n-1+n．
设数列{n•2^n-1}的前n项和为：A_n．
则A_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2A_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-A_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）×2ⁿ-1，
∴A_n=（n-1）×2ⁿ+1．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=（n-1）×2ⁿ+1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．