Question

11．已知函数f（x）满足f（x）+f（2-x）=2，当x∈（0，1]时，f（x）=x²，当x∈（-1，0]时，$f（x）+2=\frac{2}{{f（\sqrt{x+1}）}}$，若定义在（-1，3）上的函数g（x）=f（x）-t（x+1）有三个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}]$
• B． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（0，6+2\sqrt{7}）$
• D． $（0，6-2\sqrt{7}）$

Answer 1

分析 由g（x）=f（x）-t（x+1）=0得f（x）=t（x+1），分别求出函数f（x）的解析式以及两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由题可知函数在x∈（-1，1]上的解析式为$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{-2x}{x+1}x∈（-1，0]\\{x^2}x∈（0，1]\end{array}\right.$，
又由f（x）+f（2-x）=2可知f（x）的图象关于（1，1）点对称，
可将函数f（x）在x∈（-1，3）上的大致图象呈现如图
根据y=t（x+1）的几何意义，x轴位置和图中直线位置为y=t（x+1）表示直线的临界位置，其中x∈[1，2）时，f（x）=-（x-2）²+2，联立$\left\{\begin{array}{l}y=t（x+1）\\ y=-{（x-2）^2}+2\end{array}\right.$，得x²+（t-4）x+t+2=0．
并令△=0，可求得$t=6-2\sqrt{7}$，
或t=6+2$\sqrt{7}$．
∵x₁+x₂=-（t-4）＞0，
∴t＜4，
则t=6+2$\sqrt{7}$不成立，
即t=6-2$\sqrt{7}$∴
因此直线的斜率t的取值范围是$（0，6-2\sqrt{7}）$．
故选：D．

点评 本题是最近热点的函数图象辨析问题，是一道较为复杂的难题．作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．