Question

17．已知等差数列{a_n}满足a_n+1＞a_n，a₁=1，且该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设d、q分别为数列{a_n}、{b_n}的公差与公比．由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，可得关于d的方程，解出d，可得a_n，进而可得b₁，b₂，公比q，故可得b_n；
（2）由（1）表示出c_n，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式，可求得S_n．

解答 解：（Ⅰ）设d、q分别为数列{a_n}、{b_n}的公差与公比．
由题意知，a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3后
得2，2+d，4+2d是等比数列{b_n}的前三项，
∴（2+d）²=2（4+2 d），解得：d=±2．
又∵a_n+1＞a_n，∴d＞0，∴d=2，
∴a_n=2n-1（n∈N^*），
由此可得b₁=2，b₂=4，q=2，
∴b_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）由（1）可得c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴前n项和S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
∴2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
相减得-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查等差数列等比数列的通项公式、数列的求和，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．