Question

13．若对于曲线f（x）=-e^x-x上任意点处的切线l₁，总存在g（x）=2ax+sinx上一点处的切线l₂，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，可得切线的斜率k₁，求得g（x）的导数，设g（x）图象上一点（x₂，y₂）可得切线l₂的斜率为k₂，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求y₁=2a+cosx₂的值域A，y₂═$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$值域B，由题意可得B⊆A，可得a的不等式，可得a的范围．

解答 解：f（x）=-e^x-x的导数为f′（x）=-e^x-1，
设（x₁，y₁）为f（x）上的任一点，
则过（x₁，y₁）处的切线l₁的斜率为k₁=-e^x₁-1，
g（x）=2ax+sinx的导数为g′（x）=2a+cosx，
过g（x）图象上一点（x₂，y₂）处的切线l₂的斜率为k₂=2a+cosx₂．
由l₁⊥l₂，可得（-e^x₁-1）•（2a+cosx₂）=-1，
即2a+cosx₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$，
任意的x₁∈R，总存在x₂∈R使等式成立．
则有y₁=2a+cosx₂的值域为A=[2a-1，2a+1]．
y₂=$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}+1}$的值域为B=（0，1），
有B⊆A，即（0，1）⊆[2a-1，2a+1]．
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-1≤0}\\{2a+1≥1}\end{array}\right.$，
解得0≤a≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．