Question

11．设函数f（x）=|x+2|+|x-2|，x∈R，不等式f（x）≤6的解集为M．
（1）求M；
（2）当a，b∈M时，求证：$\sqrt{3}|{a+b}|≤|{ab+3}|$．

Answer 1

分析 （1）|x+2|+|x-2|≤6等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2x≤6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{4≤6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x≤6}\end{array}}\right.$，由此能求出集合M．
（2）当a，b∈M，即-3≤b≤3时，要证$\sqrt{3}•|{a+b}|≤|{ab+3}|$，即证3（a+b）²≤（ab+3）²．由此能证明$\sqrt{3}|{a+b}|≤|{ab+3}|$．

解答 解：（1）|x+2|+|x-2|≤6等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-2x≤6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤2}\\{4≤6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥2}\\{2x≤6}\end{array}}\right.$，
解得-3≤x≤3，
∴M=[-3，3]．
证明：（2）当a，b∈M，即-3≤b≤3时，
要证$\sqrt{3}•|{a+b}|≤|{ab+3}|$，即证3（a+b）²≤（ab+3）²．
∵3（a+b）²-（ab+3）²
=3（a²+2ab+b²）-（a²b²+6ab+9）
=3a²+3b²-a²b²-9
=（a²-3）（3-b²）≤0，
∴$\sqrt{3}|{a+b}|≤|{ab+3}|$．

点评 本题考查集合的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．