Question

10．2015年7月，“国务院关于积极推进‘互联网+’行动的指导意见”正式公布，在“互联网+”的大潮下，我市某高中“微课堂”引入教学，某高三教学教师录制了“导数的应用”与“概率的应用”两个单元的微课视频放在所教两个班级（A班和B班）的网页上，A班（实验班，基础较好）共有学生60人，B班（普通班，基础较差）共有学生60人，该教师规定两个班的每一名同学必须在某一天观看其中一个单元的微课视频，第二天经过统计，A班有40人观看了“导数的应用”视频，其他20人观看了“概率的应用”视频，B班有25人观看了“导数的应用”视频，其他35人观看了“概率的应用”视频．
（1）完成下列2×2列联表：

	观看“导数的应用” 视频人数	观看“概率的应用” 视频人数	总计
A班
B班
总计

判断是否有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关？
（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；
①求抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数及观看“概率的应用”视频的人数；
②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式：K²=$\frac{n（{n}_{11}{n}_{22}-{n}_{12}{n}_{21}）^{2}}{{n}_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$
参考数据：

P（x2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.05	0.025	0.010
k0	0.455	0.708	1.323	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根据题目中的数据，完成2×2列联表，计算K²，对照数表即可得出结论；
（2）①利用分层抽样原理求出对应的数值；
②计算X的可能取值以及对应的概率值，列出X的分布列，求出数学期望值．

解答 解：（1）根据题目中的数据，完成下列2×2列联表：

	观看“导数的应用” 视频人数	观看“概率的应用” 视频人数	总计
A班	40	20	60
B班	25	35	60
总计	65	55	120

计算K²=$\frac{120{×（40×35-25×20）}^{2}}{60×60×65×55}$≈7.5524＞6.635，
∴有99%的把握认为学生选择两个视频中的哪一个与班级有关；
（2）在A班中用分层抽样的方法抽取6人进行学习效果调查；
①抽取的6人中观看“导数的应用”视频的人数是6×$\frac{40}{60}$=4，观看“概率的应用”视频的人数是6×$\frac{20}{60}$=2；
②在抽取的6人中再随机抽取3人，设3人中观看“导数的应用”视频的人数为X，则X的可能取值为1、2、3，
计算P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$；
∴X的分布列为：

X	1	2	3
P（X）	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

所以X的数学期望为EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{3}{5}$+3×$\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的应用问题，是基础题目．