Question

20．函数f（x）=x²+ax+b，其中a∈R，b∈R且（b+4）²-a²=4，已知对任意的x∈R不等式f（x）≥-2恒成立．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+x+4，x＜f（x）}\\{f（x）-x，x≥f（x）}\end{array}\right.$，求g（x）的值域；
（3）是否存在实数m，n使得不等式m≤f（x）≤n的解集为[m，n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据不等式f（x）≥-2恒成立，得出△=a²-4（b+2）≤0，求解即可；
（2）对分段函数分别讨论，结合单调性逐步求出函数的值域，最后求并集即可；
（3）根据二次函数的性质，结合题意可知当m=-2，n=2时符合题意，故存在．

解答 解：（1）对任意的x∈R不等式f（x）≥-2恒成立即x²+ax+b+2对任意x∈R恒成立，只要
△=a²-4（b+2）≤0即可，
又（b+4）²-a²=4，故-4+（b+4）²-4（b+2）≤0即b²+4b+4≤0，
即（b+2）²≤0，又（b+2）²≥0，故b=-2，
此时a=0，
综上所述，a=0，b=-2；    
（2）x＜f（x）=x²-2得x²-x-2＞0，则x＜-1或x＞2或．
因此x≥f（x）=x²-2的解为-1≤x≤2．
于是g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜-1或x＞2}\\{{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2}\end{array}\right.$       
当x＜-1或x＞2时，g（x）=x²+x+2在（-∞，-1）时单调递减，g（x）＞2，
g（x）在（2，+∞）上单调递增，g（x）＞8
因此x＜-1或x＞2时，g（x）＞2．               
当-1≤x≤2时，g（x）=x²-x-2在[-1，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
所以-$\frac{9}{4}$≤g（x）≤0．．                           
综上所述，g（x）的值域是[-$\frac{9}{4}$，0]∪（2，+∞）；
（3）f（x）=x²-2，
∵f（-2）=2，f（2）=2，f（0）=-2，
∴当x∈[-2，2]时，f（x）∈[-2，2]，
故满足题意，
∴m=-2，n=2成立．

点评 考查了二次函数的性质，分段函数值域的求解问题和对函数定义域值域的深刻理解．