Question

4．某省去年高三200000名考生英语听力考试服从正态分布N（17，9），现从某校高三年级随机抽取50名考生的成绩，发现全部介于[6，30]之间，将成绩按如图方式分成6组：第1组[6，10），第2组[10，14），…，第6组[26，30），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）估算该校50名考生的众数和中位数；
（Ⅱ）求这50名考生成绩在[22，30]内的人数；
（Ⅲ）从这50名考生成绩在[22，30]内的人中任意抽取2人，该2人成绩排名（从高到低）在全省前260名的人数记为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能估算该校50名考生的众数和中位数．
（Ⅱ）先求出这50名考生成绩在[22，30]内的频率，由此能求出这50名考生成绩在[22，30]内的人数．
（Ⅲ）由题意X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算该校50名考生的众数为：16，
中位数为：14+$\frac{0.5-（0.02+0.05）×4}{0.08×4}$×4=15.875．
（Ⅱ）这50名考生成绩在[22，30]内的频率为（0.03+0.02）×4=0.2，
∴这50名考生成绩在[22，30]内的人数为：50×0.2=10．
（Ⅲ）这50名考生成绩在[22，30]内的人数为10人，其中成绩排名（从高到低）在全省前260名的人数有4人，
从这50名考生成绩在[22，30]内的人中任意抽取2人，基本事件总数n=${C}_{10}^{2}$=45，
由题意X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{15}{45}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{24}{45}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}$=$\frac{6}{45}$，
∴EX=$0×\frac{15}{45}+1×\frac{24}{45}+2×\frac{6}{45}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的数学期望，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．