Question

4．如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱．
（1）用x表示此圆柱的侧面积表达式；
（2）当此圆柱的侧面积最大时，求此圆柱的体积．

Answer 1

分析 （1）设圆柱的底面半径为r，根据相似比求出r与x的关系，代入侧面积公式即可；
（2）利用二次函数的性质求出侧面积最大时x的值，代入体积公式即可．

解答 解：（1）设圆柱的半径为r，则$\frac{r}{2}=\frac{2-x}{2}$，∴r=2-x，0＜x＜2．
∴S_圆柱侧=2πrx=2π（2-x）x=-2πx²+4πx．（0＜x＜2）．
（2）${S_{圆柱侧}}=2π（2x-{x^2}）=2π[-{（x-1）^2}+1]$，
∴当x=1时，S_圆柱侧取最大值2π，
此时，r=1，所以${V_{圆柱}}=π{r^2}x=π$．

点评 本题考查了旋转体的结构特征，体积计算，属于基础题．