Question

在正四面体ABCD中，E为AD的中点，连接CE，求CE和平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：在正四面体ABCD中，过A作AO⊥平面BCD于点O，则H为底面正三角形BCD的外心，连接BO，过E作EF∥AO，交OD于F，则∠ECF=α，就是CE与平面BCD所成角，解直角三角形CEF即可．

解答： 解：设正四面体ABCD的边长为a，高为AO，
则O为底面正三角形BCD的外心，过E作EF∥AO，交OD于F，
易得EF⊥平面BCD，
则设∠ECF=α，即为CE与平面BCD所成角，
在Rt△ABO中，则BO=

3

3

a=，AO=

a2- 1 3 a2

=

6

3

a，EF=

1

2

AO=

6

6

a，
∴sinα=

EF

CE

=

6 6 a

3 2 a

=

2

3

．

点评：考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属中档题．