题目内容
5．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完6局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛．比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$，每局比赛相互独立．求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；
（2）恰好比赛四局结束的概率；
（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率．
分析 （1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，由此能求出比赛两局就结束且甲获胜的概率．
（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，由此能求出恰好比赛四局结束的概率．
（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．由此能求出甲获胜的概率．
解答 解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，
∴比赛两局就结束且甲获胜的概率为$P=\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$；…（3分）
（2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，
∴恰好比赛四局结束的概率为$P=C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）（{{{（{\frac{2}{3}}）}^2}+{{（{\frac{1}{3}}）}^2}}）$=$\frac{20}{81}$；…（7分）
（3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，
第三、第四比赛两人也为平手，第五、第六局都为甲获胜，
或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人也为平手，
第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜．
∴在整个比赛过程中，甲获胜的概率为$P={[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}{（{\frac{2}{3}}）^2}+（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）{[{C_2^1（{\frac{2}{3}}）（{\frac{1}{3}}）}]^2}=\frac{32}{243}$．…（12分）
点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式的合理运用．
习题精选系列答案| x | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | 2.5 | n | 4 | 4.5 |
| A． | 3 | B． | 3.15 | C． | 3.5 | D． | 4.5 |
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MC}=0$，则点M到直线AB的最短距离为（ ）| A． | $\sqrt{5}$ | B． | $4-\sqrt{5}$ | C． | $3-\sqrt{5}$ | D． | $4-2\sqrt{2}$ |
| A． | [kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z） | B． | $[{kπ，kπ+\frac{π}{2}}]（{k∈Z}）$ | C． | $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]（{k∈Z}）$ | D． | $[{kπ-\frac{π}{2}，kπ}]（{k∈Z}）$ |
| A． | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{3}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{3}$ |