Question

数列{x_n}由下列条件确定：x₁=a＞0，x_n+1=，n∈N．
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有x_n≥；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有x_n≥x_n+1；
（Ⅲ）若数列{x_n}的极限存在，且大于零，求x_n的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=，知x_n＞0．从而有x_n+1=（n∈N），所以，当n≥2时，x_n≥成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，由x_n≥＞0，x_n+1=，用作差法知当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，由x_n≥＞0，x_n+1=，用作商法知当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）记x_n=A，则x_n+1=A，且A＞0．由x_n+1=，得A=．由此能导出x_n的值．
解答：证明：（Ⅰ）由x₁=a＞0，及x_n+1=，
可归纳证明x_n＞0．
从而有x_n+1=（n∈N），
所以，当n≥2时，x_n≥成立．
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，
因为x_n≥＞0，x_n+1=
所以x_n+1-x_n=≤0，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
证法二：当n≥2时，因为x_n≥＞0，x_n+1=，
所以=1，
故当n≥2时，x_n≥x_n+1成立．
（Ⅲ）解：记x_n=A，则x_n+1=A，且A＞0．
由x_n+1=，得A=．
由A＞0，解得A=，故x_n=．
点评：本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力．