Question

18．如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1．
（1）求异面直线A₁B₁与BD所成角的大小；
（2）设直线AB₁与平面ABCD所成的角为60°，求三棱锥B₁-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）确定∠ABD为异面直线A₁B₁与BD所成角，即可得出结论；
（2）在Rt△B₁BA中，AB=1，∠B₁AB=60°，求出B₁B，利用V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$求出三棱锥B₁-ABC的体积．

解答 解：（1）∵A₁B₁∥AB，
∴∠ABD为异面直线A₁B₁与BD所成角，
∵ABCD为矩形，AB=AD，
∴∠ABD=45°，
∴异面直线A₁B₁与BD所成角为45°；
（2）∵B₁B⊥平面ABCD，
∴∠B₁AB为直线AB₁与平面ABCD所成的角，即∠B₁AB=60°，
在Rt△B₁BA中，AB=1，∠B₁AB=60°，
∴B₁B=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥B₁-ABC的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•B{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题在长方体中求异面直线所成角，并求四面体的体积，着重考查了长方体的性质、异面直线所成角和体积的求法等知识，属于基础题．