Question

5．若函数f（x）=x•e^x-a有且只有一个零点，则实数a的取值集合为{$-\frac{1}{e}$}．

Answer 1

分析 求出函数的导数，推出函数的极值，以及函数的单调性，然后求解实数a的取值集合．

解答 解：函数f（x）=x•e^x-a有且只有一个零点，即x•e^x=a，只有一个解，
即函数y=x•e^x与y=a有且只有一个交点，
y=x•e^x可得y′=e^x+x•e^x=（x+1）e^x．
x=-1时，y′=0，
x＜-1时，y′＜0，函数是减函数，
x＞-1时，y′＞0，函数是增函数，
x=-1时，y=x•e^x与取得极小值：$-\frac{1}{e}$．
此时函数y=x•e^x与y=-$\frac{1}{e}$有且只有一个交点．
a∈{-$\frac{1}{e}$}．
故答案为：{-$\frac{1}{e}$}

点评 本题考查函数的极值以及函数的单调性的判断，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是中档题．