Question

9．运动员小王在一个如图所示的半圆形水域（O为圆心，AB是半圆的直径）进行体育训练，小王先从点A出发，沿着线段AP游泳至半圆上某点P处，再从点P沿着弧PB跑步至点B处，最后沿着线段BA骑自行车回到点A处，本次训练结束．已知OA=1500m，小王游泳、跑步、骑自行车的平均速度分别为2m/s，4m/s，10m/s，设∠PAO=θrad．
（1）若$θ=\frac{π}{3}$，求弧PB的长度；
（2）试将小王本次训练的时间t表示为θ的函数t（θ），并写出θ的范围；
（3）请判断小王本次训练时间能否超过40分钟，并说明理由．
（参考公式：弧长l=rα，其中r为扇形半径，α为扇形圆心角．）

Answer 1

分析 （1）求出∠POB的弧度，从而求出PB的长度即可；
（2）根据PB的长，求出t（θ）的解析式即可；（3）求出函数的导数，根据函数的单调性求出t（θ）的最大值，带入计算比较即可．

解答 解：（1）∵$∠POB=2θ=\frac{π}{3}$，
∴$\widehat{PB}=OA•\frac{π}{3}=500π$m．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）在OAP中，AP=2OAcosθ=3000cosθ，
在扇形OPB中，$\widehat{PB}=OA•（2θ）=3000θ$，
又BA=2OA=3000，
∴小王本次训练的总时间：
$t（θ）=\frac{AP}{2}+\frac{{\widehat{PB}}}{4}+\frac{BA}{10}=\frac{3000cosθ}{2}+\frac{3000θ}{4}+\frac{3000}{10}$
=$1500（cosθ+\frac{θ}{2}）+300$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
（3）由（2）得：$t'（θ）=-1500（sinθ-\frac{1}{2}）$，
令t'（θ）=0，得$sinθ=\frac{1}{2}$，∴$θ=\frac{π}{6}$，
列表如下，

θ	$（0，\frac{π}{6}）$	$\frac{π}{6}$	$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$
t'（θ）	+	0	-
t（θ）	↗	极大值	↘

从上表可知，当$θ=\frac{π}{6}$时，t（θ）取得极大值，且是最大值，
∴t（θ）的最大值是$t（\frac{π}{6}）=1500（cos\frac{π}{6}+\frac{π}{12}）+300=750\sqrt{3}+125π+300$，
（3）∵$\sqrt{3}＜2$，π＜3.2，
∴$t（\frac{π}{6}）＜750×2+125×3.2+300=2200$，
∵2200＜40×60，∴小王本次训练时间不能超到40分钟．

点评 本题考查了弧长公式，考查函数的单调性、最值问题，是一道综合题．