Question

19．如图，在平面直角坐标系xOy，设点M（x₀，y₀）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一点，从原点O向圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP，OQ的斜率分别记为k₁，k₂．
（1）若圆M与x轴相切于椭圆C的左焦点，求圆M的方程；
（2）若r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
①求证：k₁k₂为定值；
②求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）椭圆C的左焦点是（-2$\sqrt{3}$，0），x=-2$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得y=±1，求出圆的圆心，然后求圆M的方程；
（2）①因为直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，与圆R相切，推出k₁，k₂是方程（1+k²）x²-（2x₀+2ky₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k₁k₂．结合点M（x₀，y₀）在椭圆C上，得出k₁k₂=-$\frac{1}{4}$．
②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），通过4k₁k₂+1=0，推出y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，利用P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），在椭圆C上，推出OP²+OQ²=20，即可求出|OP|•|OQ|的最大值．

解答 解：（1）椭圆C的左焦点是（-2$\sqrt{3}$，0），x=-2$\sqrt{3}$，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，可得y=±1，
∴M（-2$\sqrt{3}$，±1）
∴圆M的方程：（x+2$\sqrt{3}$）²+（y±1）²=1；
（2）①因为直线OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，与圆R相切，
所以直线OP：y=k₁x与圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=$\frac{4}{5}$联立，可得（1+k₁²）x²-（2x₀+2k₁y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0
同理（1+k₂²）x²-（2x₀+2k₂y₀）x+x₀²+y₀²-$\frac{4}{5}$=0，
由判别式为0，可得k₁，k₂是方程（x₀²-$\frac{4}{5}$）k²-2x₀y₀k+y₀²-$\frac{4}{5}$=0的两个不相等的实数根，
∴k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}{{{x}_{0}}^{2}-\frac{4}{5}}$，
因为点M（x₀，y₀）在椭圆C上，所以y₀²=1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$，
所以k₁k₂=-$\frac{1}{4}$；
②（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
因为4k₁k₂+1=0，所以y₁²y₂²=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
因为P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在椭圆C上，所以y₁²y₂²=（4-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$）（4-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）=$\frac{1}{16}$x₁²x₂²，
整理得x₁²+x₂²=16，
所以y₁²+y₂²=4
所以OP²+OQ²=20．  
（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP²+OQ²=20，
综上：OP²+OQ²=20
所以|OP|•|OQ|≤$\frac{1}{2}$（OP²+OQ²）=10，
所以|OP|•|OQ|的最大值为10．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．