Question

18．如图，在△ABC中，|$\overrightarrow{CA}$|=6，|$\overrightarrow{CB}$|=3，M为线段AB上的一点，且|$\overrightarrow{CM}$|=x•$\overrightarrow{CA}$+y•$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{BM}$=2$\overrightarrow{MA}$．
（1）求x，y的值．
（2）若$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=-18，求$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的三角形法则对向量$\overrightarrow{CM}$在CA，CB方向上分解，利用平面向量基本定理得到x，y；
（2）运用数量积的定义，将等式用$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$表示，即可得到所求．

解答 解：（1）由已知得$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=x•$\overrightarrow{CA}$+y•$\overrightarrow{CB}$，所以x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$；
（2）设$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为θ，
因为$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{AB}$=-18，由（1）得到（$\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$）$•（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）$=-18，
展开得$-\frac{2}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}$=-18，所以$-\frac{2}{3}×36+\frac{1}{3}×9+\frac{1}{3}×6×3×cosθ$=-18，解得cosθ=$\frac{1}{2}$，θ∈[0，π]，所以θ=60°；
所以$\overrightarrow{CA}$与$\overrightarrow{CB}$的夹角为60°．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，以及平面向量基本定理，考查运算能力，属于中档题．