Question

若函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，则

cos2α

sin2α+cos2α

的值是（　　）

• A、

  8

  3

• B、

  8

  5

• C、-

  8

  7

• D、

  8

  15

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,二倍角的正弦,直线的倾斜角

专题：导数的综合应用,三角函数的求值

分析：通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，然后化简表达式为正切函数的形式即可求解结果．

解答：解：函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1，
∴函数f′（x）=x²-x+

1

3

．
∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+

1

3

x+1在x=1处的切线的倾斜角为α，
∴tanα=

1

3

．
∴

cos2α

sin2α+cos2α

=

1-tan2α

2tanα+1

=

1- 1 9

2× 1 3 +1

=

8

15

．
故选：D．

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查二倍角的三角函数的化简求值，学生的计算能力，属于基础题．