Question

14．某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．

（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50
住宿生	10
总计	60		100

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$
参考列表：

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表，求出K²，由K²＞3.841，得到有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关．
（2）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），推导出第①组1人，第②组4人，第③组10人，从而X的所有可能取值为0，1，2，3，$P（X=i）=\frac{{C_5^iC_{10}^{3-i}}}{{C_{15}^3}}（i=0，1，2，3）$，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：

	利用时间充分	利用时间不充分	总计
走读生	50	25	75
住宿生	10	15	25
总计	60	40	100

…（2分）
K²=$\frac{100×（50×15-25×10）2}{75×25×40×60}$≈5.556 …（4分）
由于K²＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（6分）
（2）设第i组的频率为P_i（i=1，2，…，8），
则由图可知：P₁=$\frac{1}{3000}$×30=$\frac{1}{100}$，P₂=$\frac{1}{750}$×30=$\frac{4}{100}$，P₃=$\frac{1}{300}$×30=$\frac{10}{100}$，
∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．…（8分）
则X的所有可能取值为0，1，2，3，$P（X=i）=\frac{{C_5^iC_{10}^{3-i}}}{{C_{15}^3}}（i=0，1，2，3）$，
∴$P（X=0）=\frac{{C_5^0C_{10}^3}}{{C_{15}^3}}=\frac{24}{91}$，
$P（X=1）=\frac{{C_5^1C_{10}^2}}{{C_{15}^3}}=\frac{45}{91}，P（X=2）=\frac{{C_5^2C_{10}^1}}{{C_{15}^3}}=\frac{20}{91}，P（X=3）=\frac{{C_5^3C_{10}^0}}{{C_{15}^3}}=\frac{2}{91}$…..（10分）
∴X的分布列为：

P	0	1	2	3
X	$\frac{24}{91}$	$\frac{45}{91}$	$\frac{20}{91}$	$\frac{2}{91}$

$E（X）=0×\frac{24}{91}+1×\frac{45}{91}+2×\frac{20}{91}+3×\frac{2}{91}=1$．…..（12分）

点评 本题考查独立性质检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意超几何分布的性质的合理运用．