Question

已知直线l₁：（3+m）x+4y=5-3m，l₂：2x+（5+m）y=8．
（1）当l₁⊥l₂，求m的值．
（2）当l₁∥l₂，求l₁与l₂之间的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可得直线l₁的斜率一定存在，当m=-5时，l₂的斜率不存在，由由斜率之积等于-1列方程接出 m的值．
（2）由斜率相等接出m 的值，从而得到两直线的方程，注意排除两直线重合的情况，利用两平行线间的距离公式求得
l₁与l₂之间的距离．

解答：解：（1）由题意可得直线l₁的斜率一定存在，当m=-5时，l₂的斜率不存在，此时两直线不垂直．
当l₁⊥l₂ 时，由斜率之积等于-1可得

3+m

-4

 ×

-2

5+m

=-1，解得 m=-

13

3

．
（2）当l₁∥l₂，有

3+m

-4

=

-2

5+m

，解得m=-1 或m=-7．
当m=-1时，两直线的方程都是x+2y-4=0，故不满足条件，应舍去．
当m=-7两直线的方程分别为 2x-2y-13=0，2x-2y-8=0．
故l₁与l₂之间的距离为：

|-13+8|

4+4

=

5 2

4

．

点评：本题主要考查两直线平行的条件、两直线垂直的条件，两平行线间的距离公式，体现了分类讨论的数学思想．