Question

8．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，（a+1）²+（b-1）²的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{10}$
• B． $\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得3a+b=1，结合a＞0，b＞0求得a的范围，再把（a+1）²+（b-1）²化为关于a的二次函数，利用配方法求得最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ 5x-3y-12≥0\\ y≤3\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{5x-3y-12=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
化z=ax+by（a＞0，b＞0）为y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线y=-$\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值1，
此时3a+b=1，
∵a＞0，b＞0，∴0$＜a＜\frac{1}{3}$．
则（a+1）²+（b-1）²=（a+1）²+9a²=10a²+2a+1=10$（a+\frac{1}{10}）^{2}+\frac{9}{10}$．
则当a=$-\frac{1}{10}$时，（a+1）²+（b-1）²的最小值为$\frac{9}{10}$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．