Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{2}x|，0＜x＜2}\\{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{8}{3}x+5，x≥2}\end{array}\right.$，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中0＜a＜b＜c＜d，则abcd的取值范围是（12，15）．

Answer 1

分析 由题意可得-log₂a=log₂b=$\frac{1}{3}$c²-$\frac{8}{3}$c+5=$\frac{1}{3}$d²-$\frac{8}{3}$c+5，可得 log₃（ab）=0，ab=1．在区间[2，+∞）时，令f（x）=1可得c=2、d=6、cd=12．令f（x）=0可得c=3、d=5、cd=15．由此求得abcd的范围．

解答 解：由题意可得-log₂a=log₂b=$\frac{1}{3}$c²-$\frac{8}{3}$c+5=$\frac{1}{3}$d²-$\frac{8}{3}$c+5，
可得log₂（ab）=0，故ab=1．
在区间[2，+∞）上，
令f（x）=1可得c=2、d=6、cd=12．
令f（x）=0可得c=3、d=5、cd=15．
故有 12＜abcd＜15，
故答案为（12，15）．

点评 本题主要考查对数函数、二次函数的性质应用，属于中档题．