Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=S₁，n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，结合等差数列的定义和通项公式即可得到；
（2）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，即可得到所求和．

解答 （1）证明：S_n=n²+2n，
可得a₁=S₁=3，
n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-（n-1）=2n+1．
综上可得a_n=2n+1（n∈N*），
即a_n-a_n-1=2，
则数列{a_n}是首项为3和公差为2的等差数列，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n+1；
（2）解：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
即有前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）=$\frac{n}{3（2n+3）}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，考查等差数列的定义和通项公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．