Question

7．若二次函数f（x）的图象经过点（4，3），其在x轴上截得的线段长为2，并且对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）若不等式f（x）＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴和在x轴上截得的线段长为2得出f（x）的零点，设f（x）=a（x-1）（x-3），把（4，3）代入即可求出a；
（2）分离参数得m＜x²-6x+3恒成立，求出y=x²-6x+3在[-1，1]上的最小值即可得出m的范围．

解答 解：（1）∵f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）关于x=2对称，
∵f（x）在x轴上截得的线段长为2，且f（x）与x轴的交点关于x=2对称，
∴f（x）与x轴的交点是x₁=1，x₂=3，
设f（x）=a （x-1）（x-3）．
∵f（x）经过点（4，3），即f（4）=3
∴a（4-1）（4-3）=3，
解得a=1，
∴f（x）=（x-1）（x-3）=x²-4x+3．
（2）∵f（x）＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立
即：x²-4x+3＞2x+m在x∈[-1，1]上恒成立
∴m＜x²-6x+3在x∈[-1，1]上恒成立
∵y=x²-6x+3在x∈[-1，1]上递减，
∴当x=1时，y取得最小值0．
∴m＜0．

点评 本题考查了二次函数解析式的解法，二次函数的性质，函数恒成立问题，属于中档题．