Question

9．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：若S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的各项为正，且满足b_n≤$\frac{{a}_{n}{b}_{n-1}}{{a}_{n}+{b}_{n-1}}$，b₁=1，求证：b_n≤1（n∈N^*）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据数列递推公式得到3a_n=a_n-1，即可得到数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，问题得以解决；
（Ⅱ）由题意可得$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$≥$\frac{1}{{a}_{n}}$=3^n-1，再根据累加法得到$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$≥3+3²+3³+…+3^n-1=-$\frac{3}{2}$+$\frac{{3}^{n}}{2}$，即可得到b_n≤$\frac{2}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{2}{{3}^{1}-1}$=1问题得以解决．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
∴S_n-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-1（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$a_n-1，
∴3a_n=a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$，
∴S₁=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$a₁=a₁，
∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n=（$\frac{1}{3}$）^n-1，
（Ⅱ）∵数列{b_n}的各项为正，且满足b_n≤$\frac{{a}_{n}{b}_{n-1}}{{a}_{n}+{b}_{n-1}}$，
∴a_nb_n+b_nb_n-1≤a_nb_n-1，
∴b_nb_n-1≤a_n（b_n-1-b_n）
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$≥$\frac{1}{{a}_{n}}$=3^n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{2}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$≥3，$\frac{1}{{b}_{3}}$-$\frac{1}{{b}_{2}}$≥3²，$\frac{1}{{b}_{4}}$-$\frac{1}{{b}_{3}}$≥3³，…，$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{n-1}}$≥3^n-1，
累加可得$\frac{1}{{b}_{n}}$-$\frac{1}{{b}_{1}}$≥3+3²+3³+…+3^n-1=$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$=-$\frac{3}{2}$+$\frac{{3}^{n}}{2}$
∵b₁=1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$≥$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
∴b_n≤$\frac{2}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{2}{{3}^{1}-1}$=1

点评 本题考查数列的求和，考查等比数列的定义及通项公式，突出考查累加法求通项公式，考查推理与运算能力，属于中档题．