Question

6．已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）
（Ⅰ）求f（x）的对称轴方程和单调递增区间；
（Ⅱ）在锐角三角形ABC中，已知f（A）=2，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用单项式乘多项式展开，再由降幂公式和辅助角公式化积，则对称轴方程可求，由相位在正弦函数的增区间内求解x的范围得f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）由f（A）=2求得A值，由余弦定理及基本不等式求得bc的最大值，代入三角形面积公式求得△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=2{sin^2}x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，
令$sin（2x-\frac{π}{4}）=\underline+1$，有$2x-\frac{π}{4}=kπ+\frac{π}{2}$，$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$，
∴f（x）的对称轴是$x=\frac{kπ}{2}+\frac{3π}{8}（k∈Z）$．
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$，
∴f（x）的递增区间是[$-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\sqrt{2}sin（2A-\frac{π}{4}）+1=2$，即$sin（2A-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵A为锐角，∴$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，即$A=\frac{π}{4}$，
又a²=b²+c²-2bccosA，
∴$4≥2bc-\sqrt{2}bc$，即$bc≤\frac{4}{{2-\sqrt{2}}}=2（2+\sqrt{2}）$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}×2（2+\sqrt{2}）×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\sqrt{2}+1$，当且仅当b=c取等号，
故该三角形面积的最大值为$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查了正弦型函数的图象和性质，考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．