Question

有向线段

p0pn

的n等分点从左到右依次为p₁，p₂，…p_n-2，p_n-1，记

p0pi

=λi

pipn

(i=1，2，3，…n-1)，n≥2，则λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

．

Answer 1

分析：因为P_i是有向线段

p0pn

的第i个分点，可得

P0Pi

=

i

n

P0Pn

，再根据

P0Pi

=λi

PiPn

，可得

P0Pi

=

λi

λi+1

P0Pn

．所以

i

n

=

λi

λi+1

，解之得λ_i=

i

n-i

，所以λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

n-1

×

2

n-2

×

3

n-3

×…×

n-3

3

×

n-2

2

×

n-1

1

=1．

解答：解：∵P_i是有向线段

p0pn

的第i个分点，∴

P0Pi

=

i

n

P0Pn

…①
又∵

P0Pi

=λi

PiPn

，可得

P0Pi

=λi(

P0Pn

-

P0Pi

)
∴

P0Pi

=

λi

λi+1

P0Pn

…②
比较①②，可得

i

n

=

λi

λi+1

，解之得λ_i=

i

n-i

，其中i=1、2、3、…、n-1
∴λ₁•λ₂…λ_n-1=

1

n-1

×

2

n-2

×

3

n-3

×…×

n-3

3

×

n-2

2

×

n-1

1

=1
故答案为：1

点评：本题给出有向线段的几个等分点，在已知向量等式的情况下求参数的积，着重考查了平面向量基本定理及其应用，属于中档题．