Question

5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{3}$sinθ．
（Ⅰ）求圆C的直角做标方程；
（Ⅱ）圆C的圆心为C，点P为直线l上的动点，求|PC|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入即可得圆C的直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线化成直角坐标方程，直线到圆心C的距离最小即可．

解答 解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{3}$sinθ，可得：ρ²=2$\sqrt{3}$ρsinθ．
由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得：${x}^{2}+{y}^{2}=2\sqrt{3}y$．
即圆的方程为：${x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}=3$．
（Ⅱ）由直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得：$\sqrt{3}x-y-3\sqrt{3}=0$．
由（Ⅰ）可得：圆心为（0，$\sqrt{3}$），半径$\sqrt{3}$
圆心到直线的距离d=$\frac{|-\sqrt{3}-3\sqrt{3}|}{2}$=$2\sqrt{3}$．
所以：|PC|的最小值2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化能力．再利用普通方程的性质求解．属于基础题．