Question

已知函数f（x）=lg（m^x-2^x）（0＜m＜1）．
（1）当m=

1

2

时，求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性并给出证明；
（3）若f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数单调性的判断与证明,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）须（

1

2

）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，根据单调性求解即可
（2）利用函数单调性判断即可
（3）利用函数的单调性得出，f（x）在（-∞，-1]上的最小值为f（-1）=lg（m^-1-2^-1），所以要使f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，只需f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0

解答： 解：（1）当m=

1

2

时，要使f（x）有意义，须（

1

2

）^x-2^x＞0，即2^-x＞2^x，
可得：-x＞x，∴x＜0
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜0}．
（2）设x₂＜0，x₁＜0，且x₂＞x₁，则△=x₂-x₁＞0
令g（x）=m^x-2^x，
则g（x₂）-g（x₁）=m^x2-2^x2-m^x1+2^x1
=m^x2-m^x1+2^x1-2^x2
∵0＜m＜1，x₁＜x₂＜0，
∴m^x2-m^x1＜0，2^x1-2^x2＜0
g（x₂）-g（x₁）＜0，∴g（x₂）＜g（x₁）
∴lg[g（x₂）]＜lg[g（x₁）]，
∴△y=lg（g（x₂））-lg（g（x₁））＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数．
（3）由（2）知：f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上也为减函数，
∴f（x）在（-∞，-1]上的最小值为f（-1）=lg（m^-1-2^-1）
所以要使f（x）在（-∞，-1]上恒取正值，
只需f（-1）=lg（m^-1-2^-1）＞0，
即m^-1-2^-1＞1，∴

1

m

＞1+

1

2

=

3

2

，
∵0＜m＜1，∴0＜m＜

2

3

．

点评：本题综合考查了函数的单调性，运用转化出不等式求解问题，属于中档题，但是难度不大．