Question

5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，AA₁⊥底面ABC，AB=2，AA₁=$\sqrt{2}$，则异面直线AC₁与B₁C所成的角的大小是（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 取中点连接，由异面直线所成角的概念得到异面直线AC₁与B₁C所成的角，求解直角三角形得到三角形边长，再由余弦定理得答案．

解答 解：如图，
分别取AC、B₁C₁、CC₁、BC的中点E、F、G、K，
连接EF、EG、FG、EK、FK，
EK=$\frac{1}{2}AB=1$，FK=$A{A}_{1}=\sqrt{2}$，则EF=$\sqrt{3}$，EG=$\frac{1}{2}A{C}_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$FG═\frac{1}{2}{B}_{1}C=\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$．
在△EFG中，cos∠EGF=$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=0$．
∴异面直线AC₁与B₁C所成的角的大小是90°．
故选：C．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．