Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆（x-2）²+y²=1相切，则双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为（2，0），半径为1，运用直线和圆相切的条件：d=r，化简整理可得a²=3b²，运用a，b，c的关系和离心率公式，计算可得所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线为
y=±$\frac{b}{a}$x，即为bx±ay=0，
由渐近线与圆（x-2）²+y²=1相切，可得
$\frac{|2b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=1，
化为a²=3b²，
由c²=a²+b²=$\frac{4}{3}$a²，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．