Question

13．已知圆C：（x+4）²+y²=4，圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切，圆D与y轴交于A，B两点，定点P的坐标为（-3，0）．
（1）若点D（0，3），求△APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求tan∠APB的范围．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，数形结合得答案；
（2）设D（0，a），圆D半径为r，可得圆D的方程，把A，B的坐标用a，r表示，进一步得到PA、PB的斜率，然后利用到角公式得到tan∠APB，根据r的范围求得tan∠APB的范围．

解答 解：（1）如图，
$|CD|=\sqrt{|CO{|}^{2}+|OD{|}^{2}}=5$，且圆D与圆C外切，
此时A，B的坐标分别为（0，0），（0，6），
PA在x轴上，PB斜率k=2，
∴tan∠APB=2；
（2）设D（0，a），圆D半径为r，则（r+2）²=16+a²，①
A，B坐标分别为（0，a-r），（0，a+r），
设PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，则${k}_{1}=\frac{a-r}{3}，{k}_{2}=\frac{a+r}{3}$，
∴$tan∠APB=\frac{\frac{a+r}{3}-\frac{a-r}{3}}{1+\frac{a+r}{3}•\frac{a-r}{3}}=\frac{6r}{{a}^{2}-{r}^{2}+9}$，②
联立①②得：tan∠APB=$\frac{6r}{4r-3}=\frac{3}{2}+\frac{9}{8r-6}$，
∵r∈[2，+∞），
∴tan∠APB∈（$\frac{3}{2}，\frac{12}{5}$]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查了到角公式的应用，考查计算能力，是中档题．