Question

1．已知圆C的方程为：x²+y²+2x-4y+k=0，（k∈R）．
（1）求圆心C的坐标；
（2）求实数k的取值范围；
（3）是否存在实数k，使直线l：x-2y+4=0与圆C相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点）若存在，求出k的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）由方程x²+y²+2x-4y+k=变形为（x+1）²+（y-2）²=5-k，可得圆心C的坐标；
（2）由于此方程表示圆，可得5-k＞0，解出即可；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利用OM⊥ON，可得x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，即可解出k．

解答 解：（1）由方程x²+y²+2x-4y+k=变形为（x+1）²+（y-2）²=5-k．
∴圆心C的坐标为（-1，2）；
（2）∵此方程表示圆，∴5-k＞0，解得k＜5，故k的取值范围是（-∞，5）；
（3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立直线与圆可得5y²-16y+8+k=0，
∵直线与圆相交，∴△=16²-20（8+k）＞0，化为k＜$\frac{24}{5}$．
∴y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{8+m}{5}$．
∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂，
∵OM⊥ON，
∴x₁x₂+y₁y₂=5y₁y₂-8（y₁+y₂）+16=0，
∴8+k-$\frac{8×16}{5}$+16=0，
解得k=$\frac{8}{5}$，满足k＜$\frac{24}{5}$，
故k=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．