Question

6．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x-1}$（a为常数），若函数y=f（x）在（e，+∞）内有极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若函数f（x）在（e，+∞）内有极值，f′（x）=0有不等的实根，其中至少一个在（e，+∞）内，令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，β＞e．即可求实数a的取值范围．

解答 解：∵f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（2+a）x+1}{{x（x-1）}^{2}}$，函数f（x）在（e，+∞）内有极值，
∴f′（x）=0有不等的实根，其中至少一个在区间（e，+∞）内，
令φ（x）=x²-（2+a）x+1=（x-α）（x-β），可得αβ=1，
不妨设β＞α，则α∈（0，1），β∈（1，+∞），
∴β＞e，
∴φ（0）=1＞0，
∴φ（e）=e²-（2+a）e+1＜0，
∴a＞e+$\frac{1}{e}$-2，
即实数a的取值范围是（e+$\frac{1}{e}$-2，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，正确求导，确定函数的单调性是关键．