Question

16．（1）若$y={log_{\frac{1}{3}}}（m{x^2}+2x+m）$的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数$y={[{（\frac{1}{3}）^x}]^2}-2a•{（\frac{1}{3}）^x}+3$的最小值h（a）．

Answer 1

分析 （1）依题意得：不等式mx²+2x+m＞0的解集为R，m=0时不满足题意，因此$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4{m^2}＜0}\end{array}}\right.$，解出即可得出．
（2）令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，由x∈[-1，1]，可得t∈$[\frac{1}{3}，3]$．于是y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=f（t），对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）依题意得：不等式mx²+2x+m＞0的解集为R，m=0时不满足题意，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=4-4{m^2}＜0}\end{array}}\right.$⇒m＞1
（2）令t=$（\frac{1}{3}）^{x}$，∵x∈[-1，1]，∴t∈$[\frac{1}{3}，3]$．
∴y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²=f（t），
对称轴为t=a，
当$a＜\frac{1}{3}$时，函数f（t）在t∈$[\frac{1}{3}，3]$上单调递增，∴h（a）=$f（\frac{1}{3}）$=$\frac{28-6a}{9}$；
当$\frac{1}{3}≤a≤3$时，可得h（a）=f（a）=3-a²；
当a＞3时，h（a）=f（3）=12-6a．
综上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28-6a}{9}，a＜\frac{1}{3}}\\{-{a}^{2}+3，\frac{1}{3}≤a≤3}\\{-6a+12，a＞3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了对数函数的单调性、二次函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．