Question

2．平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的直角坐标为（1，-5），直线l过点P且倾斜角为$\frac{π}{3}$，点C极坐标为$（4，\frac{π}{2}）$，圆C的半径为4．
（1）写出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

分析 （1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直线l的参数方程和圆C的极坐标方程即可；（2）求出C到l的距离，从而判断直线l和圆C的位置关系即可．

解答 解：（1）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcos\frac{π}{3}}\\{y=-5+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
由题知，C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，
∴圆C方程为x²+（y-4）²=16，
将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入得圆C极坐标方程ρ=8sinθ，
（2）由题意得：直线l的普通方程为：$\sqrt{3}$x-y-5-$\sqrt{3}$=0，
圆心C到l的距离为d=$\frac{|-4-5-\sqrt{3}|}{2}$=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$＞4，
故直线l和圆C相离．

点评 本题考查了求直线的参数方程以及圆的普通方程，考查直角坐标和极坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，是一道中档题．