题目内容

已知函数 $数学公式$ （a为实常数，且a＞1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（Ⅰ）f'（x）=x²-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）．
因为a＞1，所以2a＞2．
由f'（x）＞0，得x＜2，或x＞2a；由f'（x）＜0，得2＜x＜2a．
所以f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数；在[2，2a]上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，∴1＜a＜6．
故a的取值范围是（1，6）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．
令 $\text{[math]}$ ，设a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂则 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
∵a₁，a₂∈（1，6），且a₁＜a₂，
∴a₁-a₂＜0，a₁a₂＞0，2a₁a₂-1＞0．
∴g（a₁）-g（a₂）＜0，即g（a₁）＜g（a₂）．
∴g（a）在（1，6）上是增函数．
又因 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）＞0恒成立，即当x≥0时，f（x）_min＞0恒成立，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．作差，可知g（a）在（1，6）上是增函数，从而可求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．