Question

9．已知函数f（x）=x²-（a+1）x+a．
（1）试求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若函数f（x）=x²-（a+1）x+a的图象在直线ax-y-2=0的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将f（x）因式分解，对a进行分类讨论，由此得到解集．
（2）由函数图象在上方，得到作差恒大于0，由此得判别式是恒小于0的，得到a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-（a+1）x+a=（x-a）（x-1）
①a＜1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|a＜x＜1}
②a=1时，不等式f（x）＜0的解集是∅
③a＞1时，不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜a}．
（2）∵函数f（x）=x²-（a+1）x+a的图象在直线ax-y-2=0的上方
∴x²-（a+1）x+a-（ax-2）＞0恒成立
即x²-（2a+1）x+a+2＞0
∴△＜0恒成立
即-$\frac{\sqrt{7}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{7}}{2}$

点评 本题考查二次函数的因式分解，分类讨论，数形结合，作差恒大于0，得判别式是恒小于0的．