Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（3，4），$\overrightarrow{b}$=（9，12），$\overrightarrow{c}$=（4，-3），若向量$\overrightarrow{m}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$，则向量$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 根据向量加法、减法及数乘的坐标运算便可得出$\overrightarrow{m}=（-3，-4），\overrightarrow{n}=（7，1）$，根据$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$即可求出$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而得出向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夹角的大小．

解答 解：$\overrightarrow{m}=2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=（-3，-4）$，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=（7，1）$；
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=-25，|\overrightarrow{m}|=5，|\overrightarrow{n}|=5\sqrt{2}$；
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{-25}{25\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞≤π$；
∴$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞=\frac{3π}{4}$．
故答案为：$\frac{3π}{4}$．

点评 考查向量坐标的加法、减法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角的余弦公式，已知三角函数求角．