Question

已知在与处都取得极值.

（1）求，的值；

（2）设函数，若对任意的，总存在，使得、，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据条件，可得，由在与处都取得极值，可知，故可建立关于的二元一次方程组，从而解得，此时，需要代回检验是否确实是的极值点，经检验符合题意，从而；（2）由（1）可得由（1）知：函数在上递减，

∴ ，因此问题就等价于求使当时，恒成立的的取值范围，而二次函数图像的对称轴是，因此需对的取值作出以下三种情况的分类讨论：①：；②：；③，分别用含的代数式表示上述三种情况下的最小值表示出来，从而可以建立关于的不等式，进而求得的取值范围为.

试题解析：（1）∵，∴. 1分

∵在与处都取得极值，

∴，∴ 4分

经检验，当时，，

∴函数在与处都取得极值，∴ 6分；

（2）由（1）知：函数在上递减，

∴ 8分，

又 ∵函数图象的对称轴是，

①：当时：，显然有成立， ∴ .

②：当时：，∴， 解得：，

又∵ ，∴.

③：当时：，∴ ， ∴， 又，∴

综上所述： 12分，

∴实数的取值范围为 13分.

考点：1.导数的运用；2.二次函数与恒成立问题.