Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx-cosωx，sinωx），$\overrightarrow{b}$=（sinωx+cosωx，2$\sqrt{3}$cosωx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+λ的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（I）求函数f（x）的最小正周期及单调减区间；
（II）若y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{5}$，0），若集合A={x|f（x）=t，x∈[0，$\frac{3π}{5}$]}仅有一个元素，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求得f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+λ．
（I）根据函数f（x）的图象关于直线x=π对称，可得2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，结合2ωx-$\frac{π}{6}$，可得ω 的值．结合函数图象求得单调减区间；
（II）此题实际上是解答函数f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1与y=t在x∈[0，$\frac{3π}{5}$]上只有一个交点的问题．

解答 解：$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ=（{sinωx-cosωx}）（{sinωx+cosωx}）+2\sqrt{3}sinωxcosωx+λ$=$\sqrt{3}sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（{2ωx-\frac{π}{6}}）+λ$．
（I）由f（x）的图象关于直线x=π对称知：$2ωπ-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ⇒ω=（{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}k}）∈（{\frac{1}{2}，1}），k∈Z$，
所以$ω=\frac{5}{6}$．
由$f（x）=2sin（{\frac{5}{3}x-\frac{π}{6}}）+λ$知，该函数的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{5}{3}}}=\frac{6π}{5}$．
所以2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
所以$\frac{2π}{5}$+$\frac{6kπ}{5}$≤x≤π+$\frac{6kπ}{5}$，
所以该函数的单调减区间为$[{\frac{2π}{5}+\frac{6kπ}{5}，π+\frac{6kπ}{5}}]，k∈Z$；
（I I）y=f（x）的图象经过点（$\frac{π}{5}$，0），得$f（{\frac{π}{5}}）=2sin\frac{π}{6}+λ=0⇒λ=-1$．
所以f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1，
∵集合A={x|f（x）=t，x∈[0，$\frac{3π}{5}$]仅有一个元素，
∴f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1与y=t在x∈[0，$\frac{3π}{5}$]上只有一个交点，
∴实数t的取值范围为t=1或-2≤t＜0．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．