Question

(16)已知函数f(x)=ax³+bx²+cx在点x₀处取得极大值5，其导函数y=f′(x)的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示.求：

(Ⅰ)x₀的值；

(Ⅱ)a，b，c的值.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)由图象可知，在(-∞，1)上f′(x)＞0，在(1，2)上f′(x)＜0，

在(2，+∞)上f′(x)＞0，

故f(x)在(-∞，1)，(2，+∞)上递增，在(1，2)上递减，

因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x₀=1.

(Ⅱ)f′(x)=3ax²+2bx+c，

由f′(1)=0，f′(2)=0，f(1)=5，

得

解得a=2，b= -9，c=12.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设f′(x)=m(x-1)(x-2)=mx²-3mx+2m，

又f′(x)=3ax²+2bx+c，

所以a=，b= -m，c=2m，

f(x)=mx²+2mx.

由f（1）=5，

即m+2m=5，

得m=6，

所以a=2，b= -9，c=12