Question

17．下列关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；
②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10-|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；
③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|-|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；
④双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同的焦点．
其中真命题的序号是②④．

Answer 1

分析 ①，根据椭圆的定义，当8＞|AB|时是椭圆；
②，利用椭圆的定义，求出a、c，|PA|的最大值为a+c；
③，利用双曲线的定义判断；
④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．

解答 解：对于①，根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴故为假命题；
对于②，由|PA|=10-|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=9，所以为真命题．
对于③，设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|-|PB|=6，当6＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，故为假命题；
对于④，双曲线$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{10}$=1的焦点为（$±\sqrt{26}$，0），椭圆$\frac{{x}^{2}}{30}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的焦点（$±\sqrt{26}$，0），故为真命题．
故答案为：②④．

点评 本题考查了圆锥曲线的命题的真假判定，掌握圆锥曲线的定义是关键，属于基础题．